Capítulo 1. ˆ Observações correlacionadas são mais difíceis de analisar e requerem técnicas

Transcrição

1 Capítulo 1 Introdução Uma série temporal é uma coleção de observações feitas sequencialmente ao longo do tempo. A característica mais importante deste tipo de dados é que as observações vizinhas são dependentes e estamos interessados em analisar e modelar esta dependência. Enquanto em modelos de regressão por exemplo a ordem das observações é irrelevante para a análise, em séries temporais a ordem dos dados é crucial. Vale notar também que o tempo pode ser substituido por outra variável como espaço, profundidade, etc. Como a maior parte dos procedimentos estatísticos foi desenvolvida para analisar observações independentes o estudo de séries temporais requer o uso de técnicas específicas. Dados de séries temporais surgem em vários campos do conhecimento como Economia (preços diários de ações, taxa mensal de desemprego, produção industrial), Medicina (eletrocardiograma, eletroencefalograma), Epidemiologia (número mensal de novos casos de meningite), Meteorologia (precipitação pluviométrica, temperatura diária, velocidade do vento), etc. Algumas características são particulares a este tipo de dados, por exemplo, ˆ Observações correlacionadas são mais difíceis de analisar e requerem técnicas específicas. ˆ Precisamos levar em conta a ordem temporal das observações. ˆ Fatores complicadores como presença de tendências e variação sazonal ou cíclica podem ser difíceis de estimar ou remover. ˆ A seleção de modelos pode ser bastante complicada, e as ferramentas podem ser de difícil interpretação. ˆ É mais difícil de lidar com observações perdidas e dados discrepantes devido à natureza sequencial. 1

2 2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Terminologia Uma série temporal é dita ser contínua quando as observações são feitas continuamente no tempo. Definindo o conjunto T = {t : t 1 < t < t 2 } a série temporal será denotada por {X(t) : t T }. Uma série temporal é dita ser discreta quando as observações são feitas em tempos específicos, geralmente equiespaçados. Definindo o conjunto T = {t 1,..., t n } a série temporal será denotada por {X t : t T }. Por simplicidade podemos fazer T = {1, 2,..., n}. Note que estes termos não se referem à variável observada X, esta pode assumir valores discretos ou contínuos. Em muitas situações X pode ser discreta por definição (e.g. o número de casos notificados de AIDS) porém para efeito de análise estatística pode ser tratada como continua se os seus valores observados não forem muito pequenos. Por outro lado, séries temporais discretas podem surgir de várias formas. Séries contínuas podem ser discretizadas, i.e. seus valores são registrados a certos intervalos de tempo. Séries de valores agregados ou acumulados em intervalos de tempo, por exemplo exportações medidas mensalmente ou quantidade de chuva medida diariamente. Finalmente, algumas séries são inerentemente discretas, por exemplo dividendos pagos por uma empresa aos seus acionistas em anos sucessivos. Uma série temporal também pode ser multivariada. Se k variáveis são observadas a cada tempo (por exemplo discreto) denota-se por {X 1t,..., X kt, t T }. Neste caso várias séries correlacionadas devem ser analisadas conjuntamente, ou seja em cada tempo tem-se um vetor de observações. Objetivos Em algumas situações o objetivo pode ser fazer previsões de valores futuros enquanto em outras a estrutura da série ou sua relação com outras séries pode ser o interesse principal. De um modo geral, os principais objetivos em se estudar séries temporais podem ser os seguintes, ˆ Descrição. Descrever propriedades da série, e.g. o padrão de tendência, existência de variação sazonal ou cíclica, observações discrepantes (outliers), alterações estruturais (e.g. mudanças no padrão da tendência ou da sazonalidade), etc. ˆ Explicação. Usar a variação em uma série para explicar a variação em outra série. ˆ Predição: predizer valores futuros com base em valores passados. Aqui

3 assume-se que o futuro envolve incerteza, ou seja as previsões não são perfeitas. Porém devemos tentar reduzir os erros de previsão. ˆ Controle. Os valores da série temporal medem a qualidade de um processo de manufatura e o objetivo é o controle do processo. Um exemplo é o controle estatístico de qualidade aonde as observações são representadas em cartas de controle. Este tópico não será abordado nestas notas de aula. 3 Abordagens ˆ Técnicas Descritivas. Técnicas gráficos, identificação de padrões, etc. ˆ Modelos Probabilísticos. Seleção, comparação e adequação de modelos, estimação, predição. Ferramenta básica é a função de autocorrelação. ˆ Análise espectral. ˆ Métodos não paramétricos (alisamento ou suavização). ˆ Outras Abordagens. Modelos de espaço de estados, modelos não lineares, séries multivariadas, estudos longitudinais, processos de longa dependência, modelos para volatilidade, etc. Sazonalidade Muitas séries temporais exibem um comportamento que tende a se repetir a cada s períodos de tempo. Por exemplo, é natural esperar que as vendas mensais de brinquedos terão um pico no mês de dezembro e talvez um pico secundário em outubro. Este padrão possivelmente se repetirá ao longo de vários anos. Vejamos alguns possíveis modelos sazonais, 1. Sazonalidade deterministica. Variáveis dummies (binárias). O coeficiente de cada variável dummy representa o fator sazonal do respectivo mês, trimestre, etc. 2. Funções trigonométricas. 3. Sazonalidade estocástica: (a) Variável endógena com defasagem sazonal no modelo (modelos ARMA periódicos), (b) modelo ARMA sazonal.

4 4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Tipos de Sazonalidade ˆ Aditiva. A série apresenta flutuações sazonais mais ou menos constantes não importando o nível global da série. ˆ Multiplicativa. O tamanho das flutuações sazonais varia dependendo do nível global da série. No exemplo dos brinquedos, suponha que o aumento esperado nas vendas nos meses de dezembro é de 1 milhão de reais em relação à média anual. Então as previsões para os meses de dezembro dos próximos anos deve somar a quantia de 1 milhão de reais à uma média anual para levar em conta esta flutuação sazonal. Isto é o que se chama de sazonalidade aditiva. Suponha agora que o aumento esperado nos meses de dezembro seja de 30%. Então o aumento esperado (em valor absoluto) de vendas em dezembro será pequeno ou grande dependendo da média anual de vendas ser baixa ou alta. Nas previsões para os próximos meses de dezembro deve-se multiplicar a média anual pelo fator 1,3. Isto é o que se chama de sazonalidade multiplicativa. Tendência Globalmente, uma série pode exibir tendência de crescimento (ou decrescimento) com vários possíveis padrões. ˆ Crescimento linear. Por exemplo, a cada ano o aumento esperado nas vendas de um certo brinquedo é de 1 milhão de reais. ˆ Crescimento exponencial. Por exemplo, a cada ano as vendas de um certo brinquedo aumentam de um fator 1,3. ˆ Crescimento amortecido. Por exemplo, as vendas de um certo brinquedo tem uma aumento esperado de 70% sobre o ano anterior. Se o aumento esperado for de 1 milhão de reais no primeiro ano, no segundo ano será de 700 mil reais, no terceiro ano será de 490 mil reais e assim por diante. Exemplos de Séries Temporais Como primeira ilustração são apresentadas na Figura 1.1 quatro séries temporais disponíveis no pacote R. Nos eixos horizontais aparecem os anos de observação e nos eixos verticais os nomes das séries (mesmos nomes do R). A Figura 1.1a mostra totais mensais de passageiros em linhas aéreas internacionais nos EUA entre 1949 e Existe uma clara tendência de crescimento bem como um

5 padrão sazonal ao longo dos anos. A Figura 1.1b mostra a série com o número anual de linces capturados em armadilhas entre 1821 e 1934 no Canadá. Existe um padrão cíclico em torno de 10 ou 11 anos. A Figura 1.1c mostra a série com as medições anuais de vazões do Rio Nilo em Ashwan entre 1871 e Parece haver alguma alteração estrutural em torno do ano de Finalmente a Figura 1.1d mostra a série trimestral do consumo de gás no Reino Unido entre o primeiro trimestre de 1960 e o quarto trimestre de Há uma tendência de crescimento porém a amplitude do padrão sazonal aumenta bastante a partir de AirPassengers lynx (a) (b) Nile UKgas (c) (d) Figura 1.1: (a) Totais mensais de passageiros em linhas aéreas internacionais nos EUA entre 1949 e 1960, (b) número anual de linces capturados em armadilhas entre 1821 e 1934 no Canadá, (c) medições anuais de vazões do Rio Nilo em Ashwan entre 1871 e 1970, (d) consumo de gás no Reino Unido entre o primeiro trimestre de 1960 e o quarto trimestre de 1986.

6 6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Exercícios 1. Classifique as seguintes séries temporais quanto ao tempo e quanto a variável observada. (a) Registros de maré durante 1 dia. (b) Medidas de temperatura em uma estação meteorológica. (c) O índice diário da bolsa de valores de São Paulo. (d) A inflação mensal medida pelo índice de preços ao consumidor. (e) Variação diária de um determinado índice financeiro, 1 para variação positiva, -1 para variação negativa ou zero se não ocorreu variação. (f) Número mensal de novos casos de Dengue em uma determinada região. 2. Dê exemplos de séries temporais continuas que poderiam ser discretizadas (e de que forma).